カイ自乗検定と正確検定について - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

HWEの正確検定についてこんな記事(こちら)を書いた。そこでは、N人についての観測を、Nx2分割表として正確確率を計算することを述べた。

このNx2分割表についてのカイ自乗統計量がどのようにHWE検定のカイ自乗統計量と関係しているかを考える。

アレル１	アレル２	合算
2	0	2
2	0	2
2	0	2
2	0	2
...	...	...
1	1	2
1	1	2
...	...	...
0	2	2
...	...	...
0	2	2
Np	N(1-p)	2N

今、ホモがa人、ヘテロがb人、逆ホモがc人だとする。

アレル１のセルの期待値は $2p$ 、アレル２のセルの期待値は $2(1-p)$ なので、このNx2分割表のカイ自乗値は $￥chi^2=a(￥frac{(2-2p)^2}{2p}+￥frac{(0-2(1-p))^2}{2(1-p)}+b(￥frac{(1-2p)^2}{2p}+￥frac{(1-2(1-p))^2}{2(1-p)})+c(￥frac{(0-2p)^2}{2p}+￥frac{(2-2(1-p))^2}{2(1-p)})$

これを整理すると

$￥chi^2=frac{1}{2p(1-p)}(a(2-2p)^2+b(1-2p)^2+c(0-2p)^2)$

である。

この統計量は、Nx2個のセルがすべて均一だったときに０となるような統計量である。この統計量はヘテロ人数について算出すると、もっともヘテロ人数を多くした場合に、もっとも小さい値をとる。

であるから、この統計量がそのままHWEからの逸脱の程度を表すものとしては使えない。

実際にHWEについて検討するにあたっては、HWE状態にあるようなa',b',c'からの逸脱の程度を計量することになる。であるから、 $a’=p^2N,b’=2p(1-p)N,c’=(1-p)^2N$ としてやったときの、上記統計量を $￥chi^2_{HWE}$ とすると、 $(￥chi^2-￥chi^2_{HWE})^2$ は、HWEからの逸脱の程度を表している。