いろいろな行列(名前のついた行列)(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 16)

  • 第16講 いろいろな行列


  • 単位行列
    • ¥bf{I_p}=¥begin{pmatrix}1&0&¥cdots&0¥¥0&1&¥cdots&0¥¥¥vdots&¥vdots&¥cdots&¥vdots¥¥0&0&¥cdots&1¥end{pmatrix}
  • 逆行列
    • ¥bf{A_2}=¥begin{pmatrix}a&b¥¥c&d¥end{pmatrix}について¥bf{A^{-1}=¥frac{1}{ad-bc}¥begin{pmatrix}d&-b¥¥-c&a¥end{pmatrix}
    • ¥bf{AA^{-1}=A^{-1}A=I}
  • 直交行列
    • ¥bf{W^T=W^{-1}のとき¥bf{W}は直交であるという
    • ベクトルに直交行列をかけても長さは不変
  • 対称行列
    • ¥bf{A^T=A}のとき¥bf{A}は対称であるという
  • 対角行列
    • 対角成分以外が0である正方行列
    • 対称行列の特殊な場合
  • 三角行列
    • 対角成分の左下の成分がすべて0の正方行列が上三角行列、対角成分の右上の成分が全て0の正方行列が下三角行列
    • 上三角行列同士の積は上三角行列であり、積の対角成分は、対応する2つの上三角行列の対角成分の積になっている。下三角行列の場合も同様
  • べき等行列(べき乗がもとの行列と同一である行列)
  • 正定値行列・非負定値行列
    • p次対象行列で、任意のp次元ベクトル¥bf{x}について¥bf{x^TAx}>0を満たすような¥bf{A}を正定値行列と呼ぶ。¥bf{x^TAx}¥ge0のような¥bf{A}を非負定値行列と呼ぶ