ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2006-12-22

累積確率密度関数から統計量の期待値

分布

今、最小値をmin、最大値をmaxとして持つような統計量Vがあるとする。その確率密度分布はminからmaxの範囲に定義されていて、 $P(v)$ と表されるとする。この統計量の期待値は $Exp=￥int_{min}^{max} v ￥times P(v) dv$ である。

今、部分積分の公式 $￥int_a^b (f(x))’ g(x) dx = ￥[f(x)g(x)￥]_a^b - ￥int_z^b f(x)(g(x))’ dx$ と、 $P(v)=(Q(v))’$ とを思い出せば(リンク)、 $Exp=￥int_{min}^{max} v ￥times P(v) dv$

$= ￥int_{min}^{max} v ￥times (Q(v))’dv$

$=￥[v ￥times Q(v)￥]_{min}^{max} - ￥int_{min}^{max}(v)’ ￥times Q(v)dv$

Q(v)は累積密度関数であるから、 $Q(min)=0,Q(max)=1$ であるので

$=(1￥times max -0 ￥times min) -￥int_{min}^{max} 1 ￥times Q(v)dv$

と書き表せることがわかる。今、min,maxが有限であるとき、さらに、

$=max -￥int_{min}^{max} Q(v)dv$

となる。

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