正確生起確率 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

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$N\times M$ のテーブルがある
$Pr(ex)=\frac{\prod_{i=1}^N \Gamma(n_{i.}+1) \times \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{.j}+1)}{\Gamma(n_{..}+1)\times \prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{ij}+1)}$ は公式
今、このテーブルの独立性の検定のカイ自乗値が $c$ であるとしたとき、自由度 $k=(N-1)(M-1)$ で、あり、自由度 $k$ のカイ自乗統計量の確率密度の値は $Pr(\chi^2=c|df=k)=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{k}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})}c^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{c}{2}}$ と表される
ここで、との比を考える
- 自由度のみに依存する項が出てきたら、どんどん、 $f_i(k)$ にまとめて表記を省略し、周辺度数のみに依存する項が出てきたら、同様に、 $g_j(m)$ にまとめて省略することとする。
$Pr(ex)=g_i(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{ij}+1)}$
$Pr(\chi^2=c|df=k)=f_1(k)g_2(m)c^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{c}{2}}$
$R=f_2(k)g_3(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{ij}+1)}\times \frac{1}{c^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{c}{2}}}$
ここで、尤度比検定から得られる統計量 $c'=2(\sum_{i,j} n_{ij} ln(\frac{n_{ij}}{n_{..}}-ln(\frac{e_{ij}}{n_{..}}))=2(\sum_{i,j} n_{ij}(ln\frac{n_{ij}}{e_{ij}}))$ は、分割表から得られる $c$ とほぼ同じであることから
$R\approx f_2(k)g_3(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{ij}+1)}\times \frac{e^{\sum_{i,j} n_{ij}(ln\frac{n_{ij}}{e_{ij}})}}{c'^{\frac{k}{2}-1}}$
さらにを更新して(を利用する)
- $R\approx f_2(k)g_4(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{ij}+1)}\times \frac{e^{\sum_{i,j} n_{ij}(ln(n_{ij})}}{c'^{\frac{k}{2}-1}}$
$e^{y ln(y)}=y^y$ を利用して
$R\approx f_2(k)g_4(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \Gamma(n_{ij}+1)}\times \frac{\prod_{i}^N\prod_{j}^M n_{ij}^{n_{ij}}}{c'^{\frac{k}{2}-1}}$
ここで、近似 $\Gamma(z+1)\approx \sqrt(2\pi z)(\frac{z}{e})^z$ を使うと
$R\approx f_2(k)g_4(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \sqrt(2\pi n_{ij})(\frac{n_{ij}}{e})^{n_{ij}}}\times \frac{\prod_{i}^N\prod_{j}^M n_{ij}^{n_{ij}}}{c'^{\frac{k}{2}-1}}$
$R\approx f_2(k)g_5(m)\frac{1}{\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^M \sqrt(2\pi n_{ij})}\times \frac{1}{c'^{\frac{k}{2}-1}}$