この世の偏微分方程式

• 昨日の記事で多次元空間曲線に関する整理をした(こちら)
• 今日は、それを「この世」の話に限定することにする
• 有限空間における連立偏微分方程式とそれが表す曲線とその上の運動
  • 複数の変量の量が作る多次元空間を考える
  • この変量は「実体」のあるものであるとすると、非負の値をとる
  • この変量は、増減するが、それらを構成する「元素」が共通であって、その元素は無から生まれず、無に帰さないとすると、のような保存量がある
  • このような保存量があるとき、変量Xがとりうる空間は、閉じた空間となる
  • このような閉じた空間での連立偏微分方程式を考える
  • 閉じた空間上に「端のない、端の開いた」多様体で、すべての端が閉じた有限空間内に収束していないような多様体は、納めることができない
  • したがって、昨日の記載で、連立微分方程式が定めるは
    • のとき
      • 両端は開いていてもよいが、有限領域上に収束すること
      • 輪(両端が閉じている)
      • 結び目を含む(両端が開いていても、輪になっていても)
    • のとき
      • 面の端は開いていてもよいが有限領域に収束すること
      • 球面とそれとトポロジーを共有する面(閉じている)
      • トーラスのような
      • …以降、「面」が作る様々なトポロジーを共有した面
      • 結び目のようなものがある？(たぶんある)
    • のとき
      • 端は開いていてもよいが有限領域に収束すること
      • 多次元球面とそれとトポロジーを共有する面
      • さらに、トポロジー考慮して色々…
      • 結び目のようなものがある？(たぶんある)
    • のとき
      • …
  • 有限空間内の曲線の納め方をの値によって分類したが、別の視点で分類する
    • 閉じている場合
    • 収束している場合
      • 収束先自体も有限空間内に収まっている必要があるので、収束先を次のように考える
        • 収束先が連続なm個の多様体で構成されるとする
        • 個々の連続な多様体を以下のように分類する
          • 0次元多様体(点)
          • 1次元多様体(曲線)
            • 曲線は端を２個持ち、その端の点が曲線に含まれるか否かと、その２個の端の位置が一致するかしないかで分類される
            • 端１と端２との位置が一致するときをA,一致しない時をaとし、端１の点を曲線に含むか含まないかをB,b、端２の点を含むか含まないかをC,cとして、都合通りに分類する
              • ABC:両端の位置が一致しその両端が曲線に含まれる：閉じた曲線
              • ABc:両端の位置が一致しその両端が曲線に含まれる：空間中の１点から伸びて、その点自身に向かって収束する曲線
              • AbC:ABcと端の点を入れ替えれば同じこと
              • Abc:ある１点があり、そこへ２方向から収束する曲線
              • aBC:両端を含む有限曲線(●----●)
              • aBc:片側は含み、もう片側は含まずそこへ向かって収束する曲線(●----○)
              • abC:aBcと同じこと
              • abc:２点に向かって収束する曲線(○----○)
          • 2次元多様体(曲面)
            • 基本の形を閉じた曲面とする
            • 閉じた曲面を基準として、穴の個数0,1,2,...と、それぞれの穴の性状(点、曲線(この曲線は有限領域の曲線であるので、上記のA/a,B/b,C/cパターンで分類される)によって特徴づけられる
              • 穴の個数が0個の場合が閉じた曲面
              • １穴へ向かって収束する場合
              • １曲線に向かって収束する場合、その曲線が閉じている場合、閉じているように見えて、曲線の端が含まれていない場合、など
          • k次元多様体
            • 閉じているk次元多様体を基準とする
            • 穴の個数とその性状で決まる
            • 穴の性状は、上記の方法で0次、1次、…と再帰的に定義したものがあり得る