多次元空間を低次元的に考える

• 教科書：

  空間充填曲線とフラクタル

  • 第１章　はじめに
  • 第２章　ヒルベルトの空間充填曲線
  • 第３章　ペアノの空間充填曲線
  • 第４章　シェルピンスキーの空間充填曲線

※ここまでは、具体的な曲線の例示。その存在を見つけること自体と、その見つけられた曲線の性質を述べることが主な内容。

※これ以降は、理論的・体系的に捉えることに、叙述の中心が移動する。

• 第５章　ルベーグの空間充填曲線
• 第６章　線分の連続性
• 第７章　シェーンベルクの空間充填曲線
• 第８章　正のルベーグ測度を持つジョルダン曲線
• 第９章　フラクタル

• このブログとの関係
  
  • 高次元データを扱っているとき、データの広がる空間がその次元空間全体に及んでいないことは多い。また、高次元データを低次元に下ろして再評価したいこともよくある。そのようなことを考える助走として、高次元空間を低次元空間で表すことを考えたい。
  • 空間充填曲線というものがある。
  • 空間充填曲線のことを考えるには、カントールが示した、有限次元の滑らかな多様体は、異なる次元の滑らかな多様体と全単射(１対１対応)の関係にあることと関係がある。
  • 空間充填曲線は、平面(２次元)、(いわゆる)空間(３次元)、および、これらより以上の自然数次元空間の(有限領域の)すべての点が、両端を持つ１次元の線分上の点に１対１対応付けることでできる、２以上次元空間中の線のことである。
    
    • ここで持ち出した、『有限領域の』と『両端を持つ』の語は、第２章までの記述に基づいて、(勝手に)加えた表現である。教科書の後半部分に進むにつれ、訂正を必要とするかもしれないことに留意。
  • 定義からわかるように、空間充填曲線は、多次元空間のすべての点を余すことなく通過する。また、空間充填曲線は連続である。それは交わらない。
  • この一見、疑いたくなるような曲線の存在を可能にしているのは、その曲線がいたるところで、微分不可能(かっくん、と折れ曲がっている)という性質である。
• Wikipediaの記事はこちら
• 第２章　ヒルベルトの空間充填曲線
  
  • いたるところ微分不可能性
  • ２次元空間曲線の複素平面表現
  • 近似多角形
  • ２次元曲線と３次元曲線
  • 別版(ムーア版)
• 第３章　ペアノの空間充填曲線
  
  • いたるところ微分不可能性
  • 幾何的生成
  • チェザロ表現(解析的・代数的表現)：3n
  • 近似多角形
  • 別版(ヴンダーリヒ版)
• 第４章　シェルピンスキーの空間充填曲線
  
  • いたるところ微分不可能性
  • 幾何的生成
  • クノップ表現：４進数表現
  • 近似多角形
  • 別版(ボーヤ版)
• 第５章　ルベーグの空間充填曲線
  
  • カントールの集合
  • カントール関数と悪魔の階段
  • 近似多角形
• 第６章　線分の連続像
  
  • 第５章で導入した、集合論に基づく説明を一般化していくための章
    
    • コンパクト集合
    • 連結集合
    • 局所連結集合
    • 道状連結性
    • 確率的独立関数による空間充填曲線の生成
    • 解析関数による空間充填曲線の表現
      
      • ここで、確率・確率分布が出るとは・・・
• 第７章　シェーンベルクの空間充填曲線
  
  • いたるところ微分不可能性
  • 近似多角形
  • ２次元曲線と３次元曲線
  • 次元曲線
• 第８章　正のルベーグ測度を持つジョルダン曲線
  
  • ジョルダン曲線
  • 曲線のもつ面積(２次元容量、ルベーグ測度)
  • オズグッドのジョルダン曲線(正の測度を持つ)
    
    • ０から１の任意の値をルベーグ測度としてもつジョルダン曲線
• 第９章　フラクタル
  
  • 充填の程度、測度、「いたるところ相似」

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