ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2011-11-24

修理する４　壁がある

「修理は故障があるときにしかできない」という条件を加えよう
言い換えると「v=0のときには、修理イベントが(仮に)起きても、得点はマイナスにならない」となる
「vは0以上の値しかとらない」とも言える
前の記事の進め方を踏まえれば、得点が-1,0,1点、変化する場合のみを考えているから、v=0のときの状態からの行先であるv=0,1の状態だけ影響を受け、 $v \ge 2$ は
$\frac{P(v,t+dt)-P(v,dt)}{dt} =\frac{dP(v,t)}{dt}= p P(v-1,t) -(p+q) P(v,t) + q P(v+1,t)$ のままである
v=0の状態が、微小時間後にv=0,1の2状態に移行する、その分配の具合を考えよう
- v=0で、イベントが起きなければ、逆イベントがどうあれ、v=0のまま
- v=0で、イベントが起きて、逆イベントが起きなければ、v=1にとなる
- v=0で、イベントが起きて、かつ、逆イベントも起きる場合は、逆イベントがイベントよりも後に起きれば、v=0のままで、そうでなければ、v=1になる
  - イベントも逆イベントも起きたとして、どちらのイベントも $\Delta t$ の時間内のいつおきるかは等確率なので、イベントが逆イベントより先に起きる確率と逆イベントがイベントより先に起きる確率とは、等しくなる
  - ただし、この項は、 $p\Delta t \times q \Delta t$ という項なので、結局、無視される
- したがって、v=0の状態からの推移は
  - $1-p$ の確率で、v=0のまま
  - $p$ の確率で、v=1となる
まとめると
- $\frac{d P(v=0,t)}{dt}=-p P(v=0,t) + q P(v=1,t)$
- $\frac{dP(v=i,t)}{dt}=p P(v=i-1,t) -(p+q) P(v=i,t) + q P(v=i+1,t)$

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