ぱらぱら めくる『現代の量子力学 量子情報・量子測定を中心として』

入門　現代の量子力学　量子情報・量子測定を中心として （KS物理専門書） [ 堀田 昌寛 ]

まえがき

• 「情報理論の観点からの最小限の実験事実に基づいた論理展開」
• 「確率解釈のボルン則や量子的重ね合わせ状態の存在を証明」
• 「情報が書き込まれている量子系に対する物理操作の考察からシュレディンガー方程式を一般的な形で導出」
• 「量子力学は、古典力学に出てくる粒子の位置や運動量の値のように測定以前から存在している物理的実在を扱う理論ではなく」
• 「（量子力学は）物理量の確率分布に基づいた一種の情報理論であると正しく認識させる」
• 「複素数の値をとる波動関数の正体が量子系に関する情報の集まりに過ぎない」
• 「なぜ自然が量子力学の実装を選択したのかについて考察」
• 「本書の理解に必要な主な前提知識は、力学、電磁気学、複素数も取り入れた線形代数および多変数関数の微積分」
• 構成
  • 1-7章：量子力学の基礎、量子情報、量子測定の諸概念
  • 8-13章：連続的な空間自由度を持つ粒子の量子力学
  • 14章：量子情報物理学の具体例（量子的重ね合わせ状態の複製禁止定理、量子テレポーテーション、量子計算）
  • 15章：情報因果律。。。量子力学を導出する情報理論的な原理の可能性がある

第１章　隠れた変数の理論と量子力学

• 物理量の期待値
• ２つの物理量の期待値には、独立な関係もあり、相関する関係もある。相関係数は「期待値の相関の程度を表した値」
• 期待値を考えるときには、確率分布を想定している。期待値の相関を考えるときには、同時確率分布を想定している
• しかしこの同時確率分布が確定していると考えること（〜隠れた変数理論が相当する）と相容れない物理事象が観測される
• それが量子揺らぎの話と繋がる。「チレルソン不等式」→こちら

第２章　二準位系の量子力学

• 量子状態は、密度行列という表現を持つと考える（もしくは、密度行列によって表現できるようなものが、量子力学で言うところの状態である）
• 密度行列が状態なので、固有値・固有ベクトルは状態に関する大事な情報となる
• また、ブラ・ケット、演算子をサンドイッチする線形代数計算が量子状態に関する情報や期待値・物理量と関係するのは、量子状態が行列表現を持つから
• エルミート行列はこの文脈で、密度行列として振舞うための条件を満足する
• 密度演算子から物理量の観測確率が直接計算できる（ボルン則）ことも、この線形代数計算により導かれる
• ユニタリー行列は空間回転であるが、複素振幅ベクトル（確率密度の状態を持つベクトル）を変化させる行列の条件を満足する
• 量子状態の重ね合わせの係数も物理量の期待値に影響を与え、期待値を大きくしたり小さくしたりする。これが、素朴な「線形結合（の延長）」としての理解と異なること（らしく）、干渉効果と呼ぶ

第３章　多準位系の量子力学

• 自由度を上げた話
• 物理量であるエルミート行列が２つあって、それらが可換な場合には、それぞれの固有値・固有ベクトルをそれぞれ用いて表して、ドッキングできる
• 異なる固有状態が同じ固有値を持つと「縮退がある」と言う
• 純粋状態は密度演算子の固有値が１で残りの固有値が全て０であるような場合

第４章　合成系の量子状態

• 数学的概念であるテンソル積は、物理的に独立な量子系を複数考えるときに、その合成系全体の量子状態を記述するのに役立つ
• 独立な量子系を「独立に」組み合わせること

第５章　物理量の相関と量子もつれ

• 「量子コンピュータなどの様々な量子的デバイスの重要なリソースとなる量子もつれは、古典力学にはなかった物理量の相関の一種である」
• 古典的情報(01二進法情報）をやり取りし、その情報に基づいて局所操作をすることで、２箇所の状態は、独立から有相関状態にできる。これは「古典相関」
• 古典相関は、線形式・テンソル積で表現できる
• 古典相関の式で表現できない「相関」もありえて、それは「量子相関〜量子もつれ」
• 量子もつれがどうやったら作れるか・・・情報のやり取りが古典的ではなく、量子的であるか、局所操作ではない操作をするか、と言うことになろうか・・・
• 状態とその相関は、情報学的にはエントロピー
• したがって量子もつれには、エンタングルメントエントロピーの存在が見えてくる

第６章　量子操作および時間発展

• 「全ての物理操作は必ず対象系と外部系の合成系の状態空間に作用するユニタリー行列で記述できる」
• 「この事実から量子系の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式が導かれる」
• 「この時間発展における対称性と保存則」
• アフィン性、トレース保存性、完全正値性、トレース保存完全正値写像(tpcp写像)
• tcpc写像は、ある補助系を使うと、きれいに書けて、「シュタインスプリング表現」できる
• トレース保存完全正値写像は、その線形代数的要請から構成するとごちゃごちゃした式表現になるが、それを簡潔に表しており、また、その写像がシンプルな性質を持つことを示しやすくもしてくれる
• そんなシンプルな性質を表している表現に「クラウス表現」がある
• この表現から、シュレーディンガー方程式が導出される
• そして、固有状態、最小固有値に対応する固有状態＝基底状態、エネルギー準位などの概念も出てくる

第７章　量子測定

• 測定にも色々ある
• 量子測定は物理操作の一つ
• 物理操作としての特徴は、「系の情報の読み出しを伴う」こと
• 注目系の量子状態を変化させて「測定できる強さ」に集約することで、非注目系の量子状態が別の状態に変化する
• 特にその変化においては、「相互に独立」だった２系に量子もつれが発生する
• 測定は「測定演算子」として記述される
• 量子測定の分類
  • 一般測定　＞　正確な測定　＞　理想測定
• 量子測定に関係すること
  • 量子揺らぎ
  • 演算子の可換性・非可換性と不確定性関係の不等式
  • 小澤不等式

第８章　一次元空間の粒子の量子力学

第９章　量子調和振動子

第１０章　磁場中の荷電粒子

第１１章　粒子の量子的挙動

• 自分自身と干渉する
• 電場や磁場に触れずとも感じる
• トンネル効果
• ポテンシャル勾配による反射
• 離散的束縛状態
• 連続準位と離散準位の共存

第１２章　空間回転と角運動量演算子

第１３章　三次元球対称ポテンシャル問題

第１４章　量子情報物理学

• 複製禁止定理：純粋状態に含まれる情報は特別な場合を除いて複製を作れない。。。量子暗号にも使われている原理
• 量子テレポーテーション：量子もつれさせておけば、量子通信によって何かを送らなくても、遠隔地側の状態変化を起こし、結果として情報を伝えることができる
• 量子計算
  • 回路型量子計算
  • 測定型量子計算

第１５章　なぜ自然は「量子力学」を選んだのだろうか

• 「量子力学は、隠れた変数理論の理論よりも強い相関を持つ」
• 「量子力学以外にも、隠れた変数の理論よりも強い相関を持つ数学的な理論は無数にあることが知られている」
• チレルソン不等式（量子力学）
• ポペスク=ローリッヒ箱：チレルソン限界を超えた、無信号条件を満たす箱
  • 情報因果律というタイプの相対論的な因果律を破ることが知られている
  • 「一般に情報因果律とは、Mを任意の自然数としてアリスがボブにMビットのメッセージを送るとき、そのメッセージからボブが知ることができるアリスのデータに関する情報量はMビットを超えないこと」
• 「量子力学はたくさんある情報や確率の数学理論の一つに過ぎない。なぜ自然がその中から量子力学という体系を選んで自分に実装したのかは現在わかっていない。しかし情報因果律という概念が、もしかしたら量子力学を導出する重要な原理となる可能性がある」
  • 量子力学とその他の情報・確率の理論との違いが「情報因果律」の保持の有無で弁別できるから、このように述べているらしい