複体と代数的確率変数

• この文書(non-commutative probability theory for topological data analysis)をぱらぱらめくっている
• こちらで、グラフのスペクトル解析と代数的確率論についてメモした
• この文書は、、もう少し踏み込んで、単体的複体、その先にあるトポロジカルデータアナリシスにまで代数的確率論を進めている
• ものすごく大雑把に言うと
  • 行列は確率変数
  • この代数的確率変数には、古典的な変数の独立とは異なる独立の概念がある
  • 行列はグラフでもある
  • グラフは分解・合成ができる
  • グラフの分解・合成には、グラフとしての「独立」があり、この「グラフとしての独立性が、行列としての独立性としてどう現れるのか」と言う話と、「確率変数としての独立性が、確率変数を表している行列にどのように現れるのか」とが繋がってくる
  • グラフの分解・合成には、グラフスペクトル解析の流れのなかで、隣接行列・ラプラシアン・Normal行列の分解・合成ルールとして議論される
  • その先に、「単体的複体」ー「代数的確率」ー「分解・合成」ー「独立」の議論が出てくる模様で、どのように独立で、どのように独立でないか、が、「単体的複体」のトポロジカル解析に結びつく、と言うこと（らしい）
  • グラフでは、隣接行列とそのべき乗が、何歩で生き合えるかの情報を表す。特に、対角成分を考えるとそれはサイクルに関すること。この行列のべき乗が代数的確率論ではモーメント。ラプラシアンの場合は、木の情報
  • 単体的複体になると、「サイクル」の代わりに、k-次単体となる。グラフにおける、クリーク
  • ポセットに話を持っていくと、ベッチ数を係数とした式、オイラー標数とかになってくる
  • 単体の頂点、エッジ、faces、高次facesを行・列に対応づけて、その帰属関係に向きも考慮して±１を立てると、単体的複体を表す行列ができる
  • 単体的複体はそれをさらに進めることでやはり行列ができる
  • 単体のオーバーラップ関係が、そこに行列演算の分離・分解・ルールなどを用いたものとして表現される
  • Betti number, Betti curve, Betti forestとか、そんな具合に広がる模様