隣接行列は代数的確率変数である

• 量子確率論とその応用と言うpdfを読んでいる
• 確率変数を*-代数と状態と呼ばれる関数とのペアとして表現する話であり、量子力学で使われてきているらしい
• それをグラフに応用することができる
• こちらに、冒頭のpdfの前半についてメモをした。代数的確率論とその量子力学とのつがなりについての部分である
• 今日の記事では、そのpdfの後半であるグラフ理論への応用についてメモする
• グラフでは隣接行列が大事である
• そのグラフの隣接行列が生成する*-代数があると言う
• それは何を意味するかと言うと、『グラフは代数的確率変数』として扱うことができる、と言うことである
• このことにより、グラフ〜代数的確率変数に量子確率論を結び付け、その視点や手法（例えば量子分解）が使えるのだと言う
• なお、グラフの隣接行列を用いて、グラフの特徴づけをする手法にグラフ・スペクトル理論と言うものがある
• これは、隣接行列の固有値スペクトルを使う、と言うことで、（無向グラフの場合には、n(n-1)/2の情報をn個の固有値にまで、情報を落とすことに相当する
• 代数的確率論では、確率変数をモーメントで表して、「同値性」を扱うので、n個まで情報が落ちずに済む（済みそう）
• また、グラフは各頂点から何歩で行き着けるかによって、全てのノードを階層構造として扱うことができるが、この階層構造に代数的確率論での量子分解が使えると言う