乱数製造器としての確率変数 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

標準正規分布に従う乱数を作ってくれる製造器を標準正規分布確率変数と呼ぶ（と呼ぼう）
このように、問いかければ、何かを返してくれるもの、返してくれる何かが問いかけのたびに変わるもの、ただし、そこにはルールがある、そんなものが確率変数（としよう）
一般的な１次元実数確率変数としては、一様分布に従う乱数製造器などなど、ある
指数分布に従う乱数製造器も確率変数。これは、ちょっと面白い性質があって、ポアソン事象を連続して観測した時の、２つの事象の間の時間・距離がとる分布になっている
何が面白いかというと、「ある乱数製造器が作った、２つの距離」になっていること
乱数製造器は１つずつの乱数を独立に作ってくれるのにも関わらず、２つの乱数の距離になっている・・・１つなのに、２つ
こんなことを考えていた
量子確率論では、行列が確率変数になっている
行列をグラフの表現と見ると、グラフが確率変数になっている、とも見える
グラフがあった時、そこから、どんな乱数が製造できるだろうか？
ランダムに２点を取った時、２点間のグラフ距離はばらつく。この２点間グラフ距離のランダムな分布を作る製造器としてグラフを捉えれば、そのグラフはそのような距離分布をランダムに作ってくれる乱数製造器であり、そのような確率変数を体現していることになる。グラフ距離行列を作成し、そのセルの値をランダムに取り出せば良い（この極限が取れれば、曲面を乱数製造器とみなすこともできる）
量子確率論では、グラフの隣接行列を取り、その冪乗の標準化トレースをモーメントとする確率変数としてグラフを考える、という「定番」の確率変数がある
これは、k-次モーメントを、k歩で、元の頂点に戻ってくる歩道の数の平均値とするような確率変数として、グラフ隣接行列を見よう、ということ
グラフを乱数製造器とみなすなら、他にも色々できそうだ
k歩が気になるなら、任意の頂点ペアについて、k歩で行きあえる歩道の数というのも確率変数になる
さらに、k歩にこだわるなら、k歩進んで、結局、グラフ距離としてどれくらいの所にあるか、というのも確率変数になる
グラフのゼータ関数は、non-backtracking cycleに関する関数だが、non-backtracking cycleの長さに着目した確率変数の性質を考えていることだとわかる