組合せ



2x2分割表には、縦軸と横軸にそれぞれ周辺度数があって、その数は、2x2=4。さらに、全セルの総和がある。この2x2の分割表は、平面に書き表せていることからわかるように、2次元の分割表である。周辺度数のことを考えるとき、2つの次元のうち、2つともをこみにした度数は、『総和』であり、1つの次元についてこみにした度数は、いわゆる『周辺度数』である。0個の次元をこみにした度数は、分割表の観測度数に他ならない。2次元のうち、i個の次元を込みにする場合は、 _2C_iで表せて、それぞれの「こみにする次元」の組合せについて、その周辺度数は、2の(次元−こみにする次元)自乗個できるから、分割表の2x2個のセルも考慮に入れると、度数のセルと、周辺度数のセルとの数は、¥sum_{i=0}^{2}  2^i ¥times _2C_{2-i} = 1 ¥times 2^0 + 2 ¥times 2^1 + 1 ¥times 2^2 = 9と表せる。2x2分割表に周辺度数を加えた表を紙に書くと、3x3の表になることを思い出せば、¥sum_{i=0}^{2}  2^i ¥times _2C_{2-i} = 3^2。と書ける。

これは、2x2x...x2なる、n次元の分割表にも簡単に拡張できて

¥sum_{i=0}^{n}  2^i ¥times _2C_{n-i} = 3^n

さらに、この3^n個の値を持つ表の自由度はいくつかというと。まず周辺度数が決まっているとき、この観測度数部分2^nの自由度は(2-1)^n = 1である。周辺度数も適当に与えられるとすると、まず、全総数を決め、次に、n-1次元分をこみにした、nx2の周辺度数のうち、その半分の値を決める。残り半分はそれによって確定する。次にn-2次元分をこみにした_nC_2 ¥times 2^2の周辺度数については、_nC_2だけ決めると残りは決まる・・・これを繰り返すと、結局¥sum_{i=0}^n 1 ¥times _nC_2= 2^nの値を決めることで、3^nのすべての値が決まる。周辺度数を含めたn次元のdichotomous 分割表の「自由度」は2^nである。2x2分割表のときには、その値は4である。総数、2つの次元のそれぞれの振り分け方、最後に観測度数の1つの値、の、計4。

この記事は、7月13日の記事とも関係がある