ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2013-01-04

分割表とトーリックイデアル

こちらでもリンクしたこちらの話しの自分なりのリ・フレーズ
- イデアルについてはこちらを
k次元分割表があって、第i軸のカテゴリ数が $r_i$ で、表全体として $n=\prod_{i=1}^k r_i$ 個のセルがある
log-linear modelでの各セルの頻度は $p_{s_1,s_2,...,s_k} = \prod_{i=1}^k t_{i,s_i}$ ,ただし $t_{i,s_i}$ は第i軸の第 $s_i$ カテゴリの頻度で表される
ある観測分割表 $X=(x_{s_1,s_2,...,s_k})$ の観測確率は(多項の係数) $\times \prod_n p_{s_1,...,s_k}^{x{s_1,...,s_k}}$ で表される
ただしの値は、周辺度数を同じくする限り等しいという関係にある
- それは対数尤度についても言えるが、周辺度数制約の制約一つ一つについても言える
逆に言えば $\prod p_{s_1,...,s_k}^{x{s_1,...,s_k}}$ を $p_{s_1,...,s_k}$ を変数とした多項式環である
$p$ は周辺度数比率 $t_{i,s_i}$ で表現されているから、 $t_{i,s_i}$ を変数として、同様に多項式環がある
この２つの多項式環の関係(準同型)を行列で表すことができて、それはトーリックイデアル
このイデアル(制約条件)を「きれい(都合良く)」に取り出すことができるが、それは、「基底」を取り出すこと(「基底」はすべての制約の種になっている)
今、分割表のセルの値を周辺度数を満足したまま一歩一歩動くことに対応するような「基底」を取り出しましょう、というのは、グレブナー基底の取り出し

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