2.極値分布モデル 駆け足で読む極値統計



  • 極値分布は、一般化極値分布として式表現することもできるし、それを3つの場合に分けて、Gumbel型、Frechet型、Weibull型として表現することもある。
  • 極値分布を定める母数は3つ。位置母数と尺度母数と形状母数の3つである。形状母数の正負・ゼロの3通りがFrechet型(正)、Weibull型(負)、Gumbel型(ゼロ)に対応する
  • 一般化極値分布は
    • G(x)=EXP(-(1+¥zeta(¥frac{x-¥mu}{¥sigma})^{-¥frac{1}{¥zeta}})なる式で与えられる。
    • ここで、1+¥zeta(¥frac{x-¥mu}{¥sigma}>0,-¥infty < ¥mu < ¥infty,¥sigma > 0,-¥infty < ¥zeta < ¥inftyである
    • ¥muを一般化極値分布の位置母数、¥sigmaをその尺度母数、¥zetaをその形状母数と呼ぶ
  • 型別極値分布は、次のように表される
    • 型別極値分布も3つの母数、位置母数a、尺度母数b、形状母数¥alpha、によって定められる。
    • y=¥frac{x-a}{b}とする
    • Gumbel型
      • D(x)=EXP(-EXP(-y)
        • 今、lim_{¥zeta ¥rightarrow 0} (1+¥zeta(¥frac{x-¥mu}{¥sigma})^{-¥frac{1}{¥zeta}}であることから、この式は、一般化極値分布表現の¥zeta=0の場合に相当し、そのとき、型別表現と一般化表現との母数の間には次の関係がある
          • a=¥mu,b=¥sigma(Gumbel型の形状母数は表現式に用いられない)
    • Frechet型
      • D(x)=0, if y<=0
      • D(x)=EXP(-y^{-¥alpha}) if y>0]
        • ¥alpha = ¥frac{1}{¥zeta},b=¥frac{¥sigma}{¥zeta},a=¥mu-¥sigmaなる関係がある
    • Weibull型
      • D(x)=EXP(-(-y)^{¥alpha}), if y<=0]
      • D(x)= 1, if y>0
        • 母数の関係はFrechetに同じ
  • 確認用エクセルはこちら
  • テキストとしているPDFのp.5 定理2.1のWeibull型の式の括弧の位置がずれているので、正確な式は、MathWorldこのページなどで再確認。
  • Thomas plot と Hazen plot
    • Thomas plot:y_{(i)} = ¥hat{H}^{-1}(¥frac{i}{N+1})
    • Hazen plot:y_{(i)} = ¥hat{H}^{-1}(¥frac{i-0.5}{N})
      • Thomas plotが最近の主流とのこと(そのほうがよいだろう。理由はこちら)