先日、SNP2x3ジェノタイプデータにおけるトレンドテストの統計量と、アレル分布2x2表のカイ自乗統計量との関係を

Y^2=¥chi^2_p ¥times (1+¥frac{G_1^2-4G_0G_2}{2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)})

と示した(こちら)。

今、3ジェノタイプの頻度をWrightのFを用いて、G_0=N(Fp_1+(1-F)p_1^2),G_2=N(Fp_2+(1-F)p_2^2),G_1=N(2(1-F)p_1p_2)と書き表すこととする。

Y^2¥chi^2_pとの関係式を、p_1,p_2,Fを用いて書き直す。

係数部分の分数の分子は

4N^2((1-F)^2p_1^2p_2^2-p_1p_2(F+(1-F)p_1)(F+(1-F)p_2))

p_1+p_2=1に注意すれば、

-4N^2p_1p_2Fとなることがわかる。

同様に分母は

2(N^2(Fp_1+(1-F)p_1^2+Fp_2+(1-F)p_2^2)-N^2(Fp_1+(1-F)p_1^2-Fp_2-Fp_2^2)^2)

2N^2(F+(1-F)(p_1^2+p_2^2)-(F(p1-p_2)+(1-F)(p1_+p_2)(p_1-p_2))^2)

2N^2(F+(1-F)(p_1^2+p_2^2)-((p_1-p_2)(F+(1-F)(p_1+p_2))^2)

2N^2(F+(1-F)(p_2^2+p_2^2)-((p_1-p_2)(F+(1-F)))^2)

2N^2(F(1-p_1^2-p_2^2)+2p_1p_2)

2N^2(2F2p_1p_2+2p_2p_2)

4N^2p_1p_2(1+F)

したがって、Y^2=¥chi^2_p (1+¥frac{(-4N^2p_1p_2F)}{4N^2p_1p_2(1+F)})

Y^2=¥chi^2_p¥frac{1}{1+F}

または

¥chi^2_p=(1+F)Y^2