2009-09-30

楕円公式で表現する

SNP 幾何関連検定

２ｘ３表の周辺度数が取らせうるテーブルを２次元空間に配置する方法
- 総サンプル数Nに対する割合として、標準化する
  - 群１（ケース）がp,群２（コントロール）がq=1-p
  - ３ディプロタイプの頻度が、 $m_1,m_2,m_3; a+b+c=1$ とする
- 期待テーブル ${{pm_1,pm_2,pm_3},{qm_1,qm_2,qm_3}}$ を原点とする
- 観測テーブル{{n11,n12,n13},{n21,n22,n23}}について、その期待度数との差を{{d11,d12,d13},{d21,d22,d23}}とする
- ２次元直交座標において $\{x,y\}=\{\frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{1}{2}(d12+d13),d12\}$ と置くと、テーブルが、相互に１２０度ずつ回転した平行線に挟まれた領域に並ぶ。これは、上向きの正三角形と下向きの正三角形のオーバーラップとしても見える。この座標表現では、期待テーブルは、２つの正三角形の対応する２頂点を結んだ線の交点（１点で交わるように２つの正三角形が配置される）に存在する
２次元配置における自由度２のカイ自乗統計量
- 上述の座標配置にあるとする。このとき、カイ自乗統計量は次式であらわされる
  - - ただし、 $x$ は原点から上述の座標へのベクトルであり、
    - $e_1=(cos(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\pi),sin(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\pi))$
    - $e_2=(cos(\frac{\pi}{2}),sin(\frac{\pi}{2}))$
    - $e_3=(cos(\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}\pi),sin(\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}\pi))$
    - であり、 $(x,e)$ は $x$ と $e$ との内積
- このベクトルを用いた式は、座標を用いると次のようになる
  - $\chi^2=N(\frac{3}{4}(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}(-\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})xy+(\frac{1}{4}(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})+\frac{1}{m_2})y^2)$
  - カイ自乗値が等しいテーブルは、この式の(x,y)が満足し、それは、 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ の形を取ることから、楕円である（こちらを参照）。
このカイ自乗統計量の作る楕円の形を考える
- 相似形を無視すれば、 $\frac{3}{4}(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}(-\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})xy+(\frac{1}{4}(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})+\frac{1}{m_2})y^2=1$ なる楕円の形を知ればよい
- 省略するが $Ax^2+Bxy+Cy^2=1$ の形の楕円は、その中心が原点であること
- 楕円は平行移動と回転で、標準型[tex:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1;0
- $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ を $\theta$ 回転させた楕円は $\frac{x cos\theta+y sin\theta)^2}{a^2}+\frac{(-x sin\theta +y cos\theta)^2}{b^2}=1$ と表される
- $Ax^2+B xy +C y^2=1$ との比較から、 $A=\frac{cos\theta ^2}{a^2}+\frac{sin \theta ^2}{b^2}$ , $B=2(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})cos\theta sin \theta$ , $C=\frac{sin\theta ^2}{a^2}+\frac{cos \theta ^2}{b^2}$
- 倍角公式を使ったりして、以下がわかる
  - $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=A+C$
  - $\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}= \sqrt{B^2+(A-C)^2}$ ]
  - $sin 2 \theta = \frac{B}{\sqrt{B^2+(A-C)^2}}$
- 他方、次も言える
  - $A+C=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i}$
  - $B^2+(A-C)^2=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i^2}-\prod_{i=1}^3\frac{1}{m_i}$
- それやこれやで
  - $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2} (\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i} + \sqrt{\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i^2}-\prod_{i=1}^3\frac{1}{m_i}})$
  - $\frac{1}{b^2}=\frac{1}{2} (\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i}- \sqrt{\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i^2}-\prod_{i=1}^3\frac{1}{m_i}})$
  - で定められる楕円を $\theta=\frac{1}{2}asin(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(-\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_3})}{\sqrt{\sum_{i=1}^3 \frac{1}{m_i^2}-\prod_{i=1}^3\frac{1}{m_i}}})$ だけ回転した楕円になるらしい・・・
Excelファイル