- 目次
- 1. 平面曲線
- 2. フレネの公式
- 3. 曲線の表現公式
- 4. 楕円関数
- 5. 平面曲線の時間発展
- 6. 楕円函数解
- 7. 進行波解の定める曲線
- 8. ベックルンド変換
- 9. ダルブー変換
- 10. 広田の方法
- 11. いろいろな幾何学
- 12. 等積幾何
- 13. 相似幾何
- 14. メビウス幾何
- A. 展望 可積分幾何へ向けて
- 1. 平面曲線
- 平面上の曲線を、その長さ１変数(径数)のベクトル値関数にして表すことができる
- 曲線の弧の長さをその変数にすることが容易な場合もそうでない場合もある。前者を弧長径数と呼ぶ
- 径数の取り方を替えれば、見かけ上異なる表現となるが、同一の曲線を表している場合には、径数の間にある関係がなりたち、そのことが、曲線の異同を示す
- 2. フレネの公式
- 曲線に沿って、接線方向とそれと直交する方向とを考える
- この２ベクトルをフレネ標構と言い、フレネ標構の変化が曲率を定める
- 曲率は曲がり具合
- 3. 曲線の表現公式
- 曲率が一致する曲線は重ね合わせ可能な曲線
- 本とは直接関係ない覚書(重ね合わせ可能な曲線とは、ある状態(分布など)が位置と向きを変えてはいるが、同一な状態(分布など)にあるということに相当
- 回転行列とか、群とかとここはつながっている
- 4. 楕円関数
- 5. 平面曲線の時間発展
- 弧長径数が時間によって変わらないとき、時間によって弧長函数が保たれるといい、「同じ」曲線が時間発展していると見ることができる
- これを等周条件と言う
- 本とは直接関係ない覚書。ある変数に２値ベクトルが対応しているとする(複素数も走)。それは(複素)平面上で曲線になる(微分などの条件を満足すれば)。等周条件を満たしていれば、それは時間発展する曲線として考えられる
- 積分可能かどうかは曲線のフレネ標構の時間変化などで決まってくる(らしい)
- 曲線の時間発展に伴う曲率の時間発展は、mKdV方程式と呼ばれる
- ここで「箱玉系〜ソリトン」につながる。なぜなら、「箱玉系」は「非線形可積分方程式系」と称されるシステムだから
- 6. 楕円函数解
- mKdV方程式の特別な場合の解が楕円積分の形をしている
- ソリトン解(孤立波解)もmKdV方程式の解である
- ソリトン解はcn波解とdn波解との間にある、両者の極限である
- 楕円函数解(とソリトン解)をRで描こう(作成したpngファイルはImageJでgifアニメーション化(R上で図を動かすためには、"png(filename)"と"dev.off()"の行(それぞれ３回ずつ出てくる)をコメントアウトすればよい)
library(elliptic)
ylim<-c(-4,4)
filecounter<-1
fn1<-function(x)sqrt(2)*(1+sqrt(1+c1))^0.5 * cn((1+c1)^0.25*x,1/sqrt(2)*((1+sqrt(1+c1))/sqrt(1+c1))^0.5)
c1s<-10^(seq(from=-3,to=2, by=0.1))
for(i in length(c1s):1){
c1<-c1s[i]
tmpnum<-1000+filecounter
filename=paste("daenkannsuukai",tmpnum,".png")
png(filename)
plot(fn1,-20,20,ylim=ylim)
dev.off()
filecounter<-filecounter+1
}
fn0<-function(x) 2/cosh(x)
tmpnum<-1000+filecounter
filename=paste("daenkannsuukai",tmpnum,".png")
png(filename)
plot(fn0,-20,20,ylim=ylim)
dev.off()
filecounter<-filecounter+1
fn2<-function(x)sqrt(2)*(1+sqrt(1+c1))^0.5 * dn(1/sqrt(2)*(1+sqrt(1+c1))^0.5*x,sqrt(2)*(sqrt(1+c1)/(1+sqrt(1+c1)))^0.5)
for(i in 1:length(c1s)){
c1<--c1s[i]
tmpnum<-1000+filecounter
filename=paste("daenkannsuukai",tmpnum,".png")
png(filename)
plot(fn2,-20,20,ylim=ylim)
dev.off()
filecounter<-filecounter+1
}
- 7. 進行波解の定める曲線
- 曲線は曲率で決まる
- 取り扱いやすい曲線は曲率の微分可能性に制限がある
- 曲線は時間発展させられる
- 曲率がそれに連れて時間発展する
- 曲率の時間発展はmKdV方程式に従う〜曲率はmKdV方程式の解である
- mKdV方程式のうち、特殊なものにソリトン解や代数的ソリトン解がある
- mKdV方程式の特殊条件を緩めたものに楕円函数を用いたcn波解やdn波解がある
- mKdV方程式の解は平面幾何で言えば曲率であり、曲率は曲線を(一意に)定めるから、mKdVの解であるソリトン解・代数的ソリトン解・cn解・dn解に対応する曲線があり、それを幾何的に表現・解釈することができる
- 以下はこちらへ続く
- 8. ベックルンド変換
- 9. ダルブー変換
- 10. 広田の方法
- 11. いろいろな幾何学
- 12. 等積幾何
- 13. 相似幾何
- 14. メビウス幾何
- A. 展望 可積分幾何へ向けて
