2010-12-20

駆け足で読む『曲線とソリトン』その２

駆け足で読むシリーズソリトン曲線微分複素解析楕円函数教科書

こちらの続き

曲線とソリトン (開かれた数学)

作者: 井ノ口順一
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 2010/03/01
メディア: 単行本
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7. 進行波解の定める曲線
- 曲線は曲率で決まる
- 取り扱いやすい曲線は曲率の微分可能性に制限がある
- 曲線は時間発展させられる
- 曲率がそれに連れて時間発展する
- 曲率の時間発展はmKdV方程式に従う〜曲率はmKdV方程式の解である
- mKdV方程式のうち、特殊なものにソリトン解や代数的ソリトン解がある
- mKdV方程式の特殊条件を緩めたものに楕円函数を用いたcn波解やdn波解がある
- mKdV方程式の解は平面幾何で言えば曲率であり、曲率は曲線を(一意に)定めるから、mKdVの解であるソリトン解・代数的ソリトン解・cn解・dn解に対応する曲線があり、それを幾何的に表現・解釈することができる

http://www.genome.med.kyoto-u.ac.jp/StatGenet/lectures/2010/cndnWave.mp4

- 以下がこの動画を描いたRソース
  - ellipticパッケージには複素積分用の関数が用意されている
  - myintegrate()は実部に関する積分関数
  - 関数と積分範囲を与える
  - 楕円函数の第１種、第２種完全積分とか、以下で定義しているmyf():ヤコビのイプシロン関数(これはdnの2乗の積分)とかを計算してくれる
  - 教科書のkの与え方とそれに対応する図(p55,p57)と、以下のソースのkの値の与え方と描かれる絵に対応が取れていないので要注意
  - dn波の場合には教科書のkをk^2/2と読み替えるとだいたいよさそう
  - cn波の場合には教科書のkをk^2と読み替えるとだいたいよさそう
  - k=0.9089...もしくはその二乗はオイラーの8の字を与える

本の著者の井ノ口先生より、Mathematicaをはじめとする数理ソフトでは"楕円関数の母数が「数学・物理での定義」と異なりk^2を用いた入力に
なっていますので、k^2と読み替えれば正しいです"とのコメントをいただいたので"k^2"と思って図を描けばよいようです。
---ありがとうございました。

myE<-function(t,m){
	myf<-function(x){
		dn(x,m)^2
	}
	ret<-rep(0,length(t))
	for(i in 1:length(ret)){
		ret[i]<-myintegrate(myf,0,t[i])
	}
	ret
}


myu<-seq(from=-20,to=20,by=0.2)
xlim<-c(-10,10)
ylim<-c(0,20)
filecounter<-1001
filenameRoot="dncn"
filenameFoot=".png"

#ks<-1/2^(1/(seq(from=0.5,to=10,by=0.5)))
ks<-seq(from=0.1,to=0.9,by=0.1)

ks<-c(1/2,1/sqrt(2),0.9,0.75,0.8535,0.95,0.9089)
ks<-c(0.05,ks^2/2,ks^2,0.95)
ks<-sort(ks)
# dn波解
for(i in 1:length(ks)){
	k<-ks[i]
	a<-1/sqrt(1-k^2)
	b<-1
	x<-myu-4*a/(sqrt(a^2-b^2))*(a*myu/2-Re(myE(a*myu/2,k)))
	y<--4*a/(sqrt(a^2-b^2))*(dn(a*myu/2,k)-1)
	filename<-paste(filenameRoot,filecounter,filenameFoot)
	png(filename)
	maintitle=paste("dn_k=",k,"_sqrt(k)=",k^0.5,"_sqrt(2k)=",sqrt(2*k))
	plot(x,y,type="l",xlim=xlim,ylim=ylim,main=maintitle)
	dev.off()
	filecounter<-filecounter+1
}


# cn波解
for(i in 1:length(ks)){
	k<-ks[i]
	a<-sqrt(1/k^2-1)
	b<-1
	x<--myu + 4/sqrt(a^2+b^2)*Re(myE(sqrt(a^2+b^2)/2*myu,k))
	y<--4*k/sqrt(a^2+b^2)*(cn(sqrt(a^2+b^2)/2*myu,k)-1)
	filename<-paste(filenameRoot,filecounter,filenameFoot)
	png(filename)
	maintitle=paste("cn_k=",k,"_sqrt(k)=",k^0.5,"_sqrt(2k)=",sqrt(2*k))
	plot(x,y,type="l",xlim=xlim,ylim=ylim,main=maintitle)
	dev.off()
	filecounter<-filecounter+1
}

8. ベックルンド変換
- ベックルンド変換によってできるポテンシャルmKdV方程式
- 解は非線形で(なのに)重ね合わせられる
- mKdV方程式に従う時間発展をする曲率の曲線の角函数はポテンシャルmKdV方程式の解になっている
9. ダルブー変換
- 非線形波動を対象にKdV,mKdV方程式を扱っている中で、ポテンシャルとも関係する形で見つけられたのがダルブー変換
- 解の多重性と関係する
10. 広田の方法
- 多重ソリトン解をもたらす別法
11. いろいろな幾何学
- 群作用
  - 幾何において距離函数を定めると距離を変えないことに対応する「合同」が決まって、それは合同変換群を構成する。
  - 原点が変わらない合同変換群では、ベクトルの内積が保たれる。

回転も。

- - こちらで、ムーア近傍に距離定義を書いている
  - ということは、この距離定義を用いれば、2次元立方格子上の形状維持移動である、ライフゲームの『グライダー』(こちら)には合同変換群に属する行列が書けることになる(だろうか)
- クライン幾何
  - 集合Xと群Gがあって、 $\rho:G \times X \to G$ なる $\rho$ は推移的群作用だが、この $\rho$ の性質を調べることをクライン幾何と言う。『Gを変換群としXを表現空間とするクライン幾何』と。
  - ユークリッド幾何は $\rho$ が合同変換のとき(距離不変。点・直線・角・距離・面積が不変)
  - 相似幾何は $\rho$ が相似変換のとき(距離定数倍。点・直線・角が不変、距離・面積は変化する)
  - 等積幾何は $\rho$ が等積変換のとき(面積不変。(点・直線)・面積が不変、角は不変ではない)
  - アフィン幾何は $\rho$ がアフィン変換のとき。アフィン変換は等積変換の拡張されたものともいえるが、点・直線が不変、距離・角度・面積は不変ではない)
12. 等積幾何
- ~~注意！本当かどうか不案内なままに、とりあえずメモし始めるので、以降の記述は(ほかの部分に増して)正誤に関して留意が必要！~~…たぶん大まかには大丈夫…
- ユークリッド幾何での曲線
  - 曲線は曲率で決まり、同一の曲率を持つ曲線は重ね合わせられる、という話があった
  - これは、ユークリッド幾何(距離不変なクライン幾何)での合同が曲率の一致と同じであったことを意味している
  - 弧長径数が不変にできた
- 等積幾何での曲線
  - ユークリッド幾何を等積幾何に置き換えてやる
  - 弧長径数に変わる不変量を導入する→等積アフィン径数
  - 曲率に変わる、曲線の合同に関する函数を導入する→等積アフィン曲率
  - フレネ標構→等積アフィン標構
  - ユークリッド幾何での円は、曲率一定→等積アフィン曲率が一定な曲線は二次曲線
  - 超幾何関数やガンマ関数が等積アフィン曲率に一定のルールを入れた場合の曲線に相当する
  - ユークリッド幾何で曲線の時間発展を見るときには、「等周条件(長さ不変、か)」があった→等積幾何では等積条件が必要
  - 等積幾何における曲線の時間発展はからmKdV方程式のようなものが出てきて、そこには、ソリトン解のようなものが存在する
13. 相似幾何
- 相似不変な径数は角函数(等積幾何の時と違って、ユークリッド幾何ですでに使っていたもの(そのときは変動していた)が不変径数となっている)
- 相似フレネ標構
- 相似曲率
- 相似的等周条件
- mKdV方程式のようなもの→セル・オートマトン化して超離散な方程式へ→渋滞学
- 拡散方程式・熱伝導方程式へも
- 正規分布型の式へ
14. メビウス幾何
- 相似幾何の拡張
- 角度を変えない(共形)。有向角を変えない(等角)。
- 共形変換に相似変換は含まれる
- 曲線が乗っている $R^2$ 平面を複素平面と見立てると、この幾何はうまくいく点がある
- 複素面だから、リーマン面とかが登場する
A. 展望　可積分幾何へ向けて
- 曲線の微分位相幾何
- 曲面のベックルンド変換
- 差分幾何