ぱらぱらめくる『偶然の輝き』ブラウン運動を巡る2000年

偶然の輝き ブラウン運動を巡る2000年 [ 池田　信行 ]

目次

• 第１章　偶然の中に潜む法則
• 第２章　偶然を語る数学の始まり
• 第３章　ブラウン運動をめぐる新たな話の始まり
• 第４章　偶然を語る現代的枠組みの誕生
• 第５章　ブラウン運動
• 第６章　解析や幾何に現れる偶然性
• 第７章　ウィナー空間上の２次形式
• 第８章　偶然現象と非線形方程式

第１章　偶然の中に潜む法則

• 餅屋の製造数
• 浮遊塵
• 水中微粒子の顕微観察
• 賭け事・結果をあらかじめ知ることができないこと

第２章　偶然を語る数学の始まり

• 賭け事。配分問題。不確からしさの定量問題。酔歩の確率論と平衡状態
• 確率事象の大数の(弱)法則。その極限。正規分布。中心極限定理
• 連続関数もばらつきの対象。その極限とスムージング
• メンデルの遺伝の法則。生物学に由来する確率論

第３章　ブラウン運動をめぐる新たな話の始まり

• 物理の問題としての微粒子の運動。ブラウン運動
• ニュートン力学（完全予測）から逸脱する物理現象
• 無秩序性の混入
• 分子運動：多数・相互独立・無記憶な運動、熱関数
• ジグザグ運動、微分可能性・微分不可能性、微分不可能関数とフーリエ級数

第４章　偶然を語る現代的枠組みの誕生

• 加法性、可測空間、確率空間
• 測度、ボレル、ルベーグ
• 独立確率変数の無限列
• 定義の難しさと複雑さ
• 確率計算とフィボナッチ数列（漸化式で表される確率事象）
• 確率事象列、その極限、可測関数の確率による積分
• d次元酔歩と出発点に戻る確率
• 級数の収束・発散で確率事象も解析する
• 方程式の解の一意性とある偶然事象の生起確率が１であることは同等
• 確率変数の素性を知るためにモーメント列を使う
• モンテカルロ実験

第５章　ブラウン運動

• 無限次元である連続関数の空間上の確率測度として微粒子運動を捉える
• ブラウン運動に対応する測度　ウィナー測度
• 概収束
• 級数展開、ウェーブレット展開
• 物理現象と同様に経済現象も
• 軌跡としてのブラウン運動から固有値・固有関数、固有値の漸近状態へ
• ランダムに動き回る分子の動きから容器に関する情報を引き出す話（境界問題はその一つ）

第６章　解析や幾何に現れる偶然性

• 偶然な現象と確率事象とは重なるけれど同じではない
• マルコフ連鎖（無記憶過程）
• 微分できない場でも積分
• 伊藤の公式
• 幾何、リーマン計量、等温座標系が取れる

第７章　ウィナー空間上の二次形式

• グリーンの定理は、曲線で囲まれる領域の面積を曲線の上の一次微分形式の積分に変える
• ブラウン運動の時は、通常の微分・積分を、確率微分・確率積分に置き換える
• 量子力学、波動方程式
• ウィナー空間で考える
• オイラー多項式、ベルヌーイ多項式、オイラー数、ベルヌーイ数
• 直線はブラウン運動。なら、典型的な関数にも確率的運動が対応する

第８章　偶然現象と非線形方程式

• 遺伝現象（遺伝子伝搬現象）という分枝過程を記述すると非線形確率方程式
• 水面波、ソリトン解も非線形確率方程式（らしい）