総集編１ - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

予備知識：単変量確率分布の関係はこちら
確率過程が起きる「世界」
- 「世界」の分類
  - 点
  - 複数の点
  - 1次元空間
  - 多次元空間
- 「世界」の説明
  - 点はゼロ次元。空間も時間も広がっていない
  - 複数の点は、独立した点の集合であることもあり、１列に並んだ点の列であることもある
  - １次元空間は、１次元の「空間」のこともあれば、「時間」という１次元空間のこともある
  - 多次元空間はいわゆる多次元の空間
過程の種類
- 点(ゼロ次元)で起きる過程はベルヌーイ過程
- 複数の点で起きるときも、個々の点での過程はベルヌーイ過程
- ポアッソン過程は１次元でも多次元でも起きる。次元は空間でも時間でも構わない。密度が均一な過程である。ポアッソン過程が１次元の世界で起きるとき、ハザード関数は定数となる
- ハザード関数が定数の場合に、確率密度分布は $P(X=x)=\lambda e^{-\lambda x}$ である。ここで $\lambda = -\frac{d (-\lambda x)}{dx}$ であると読めば、この分布式を $P(X=x)=-\frac{d g(x)}{dx} e^{-g(x)}$ であるとして、指数分布は $g(x)=\lambda x$ である場合であることになる。今、 $g(x)= (\lambda x)^{k}$ と拡張すれば、指数分布は $k=1$ である場合に相当する。これはワイブル分布。 $g(x)= e^{kx}$ と拡張すれば、グンベル分布
分布を観察する
- いくつかのことに着目して観察する
- 「世界」の単位広さあたりの回数を数える『回数』
- 「世界」に広がる「出来事」間の距離を測る
  - 最短距離
  - k番目に近い距離

世界	過程	指数分布の拡張として(g(x))	回数分布	最短距離分布	k-th近距離分布
点	ベルヌーイ	-	-	-	-
複数の点	ベルヌーイ	-	二項分布	-	-
列を成す複数の点	ベルヌーイ	等確率	二項分布	幾何分布	負の二項分布
１次元	ポアッソン過程	定数	ポアッソン分布	指数分布	ガンマ(アーラン)分布
n次元	ポアッソン過程	-	n次ポアッソン分布	ワイブル分布	?
１次元	時間のk乗の起きやすさ	x^k	-	ワイブル分布	?
１次元	時間の指数関数の起きやすさ	e^{kx}	-	グンベル分布	?