1. Algebraic and geometric methods in statistics ぱらぱらめくる『Algebraic and Geometirc Methods in Statistics』

• 背景
  • 実験計画法と群論、ベクトル空間理論・二次形式と線形モデルなどは古くからあった
  • 多項式を用いて統計モデルを代数表現するのが、新しい形(多項式回帰、分割表の独立性検定などには用いられていたが)
  • それを支えるのが、多項式環、代数多様体、イデアルなどを扱う計算機代数学とそのアプリケーションの登場。
• ２つの潮流
  • 計算機可換環
    • たとえば、フィッシャー情報量がリーマン計量だったり単体上の距離だったりというあたりで繋がっている
  • 微分幾何
    • 直線を測地線で表すとか
• ２つの関係について深入りはせずに…
• 陽関数表示と陰関数表示
  • 統計モデルをどう表すかで「同じ」ものも「異なる姿」をする。代数統計的な姿と、非代数統計的な姿と。
• モデル選択と代数統計・微分幾何との関係が気になる
• 正確確率を知りたい空間が広すぎるときに、空間探索のやり方を代数統計的に
• 一般化線形回帰のモデル式は線形でないけれど、モーメント母関数や、それを対数化したキュムラント母関数について解くことを多項式表現することでつながる
• 正単体空間に確率密度関数を置いて、興味の対象をそこにある微分多様体として扱う
• フィッシャー情報量の幾何的解釈。情報量がユークリッド空間でのピタゴラスの定理的な距離から、一般化した空間定義でのそれへと一般化・拡張される