ぱらぱらめくる『逆問題の数学』

逆問題の数学

• 本の前提
  • リッジ回帰は、のようなデータについての値が説明変数にばらけるような割り付けをするタイプの回帰
  • そのときにの最小化をする
• チホノフ正則化、Tikhonov正則化は、のノルムの定義をもう少し一般化したもの(のようだ)
  • 一般化してしまうと、どんな内積・ノルムを仮定するかが、俄然自由になってしまって、広い「汎関数空間」の探索作業になってしまうTikhonov一派は、「経験的に？」どういうアルファを設定するのがよいか、とかそういうことについての提唱をしている(らしい)
• まえがきを読むとだいたい、この本はわかる
  • 逆問題と言うのがある。データから、世界がどうなっているのかを理解しようとする、そんな問題設定
  • 非線形だったりして、やっかいだし、ill-posed problemと呼ばれるような、解が不安定で解きにくい(解けない場合)もある
• その逆問題だが、実用的な課題でもあるため、工学諸分野でそれぞれ問題設定などがなされている(生物分野もそうだろう)
• それとは別に、数学としての逆問題というものある
• 数学から言えば、逆問題は、「関数解析」として記述されるよ、となる
• チホノフ正則化、と言うのが、ある一定の役割を持つ
• チホノフ正則化を含めた正則化は、「正則化してその前提で解を得よう」という立場だから、「解がないことは頭にない」
• 逆問題の解の存在を示すことはそもそも難しく、『解がある』前提で解くので、結果を信じるかどうかは、別途考えるべきこと
• 一般的な逆問題の他に、時系列データで差分作用素を考えるとき、ヤコビアンを使うが、ここでの逆問題では、解の存在と一意性があるという。ただし、非線形なので、解が安定かどうかはわからない。関数解析ではあるけれど、線形代数で押し通せる(ようだ)
• そして、いくつかの物理・工学領域での逆問題を数学的スタンスで書いている章が続く