ぱらぱらめくる『量子ウォーク』

量子ウォーク [ 今野紀雄 ]

• 量子は複数の状態を持ちうる
• 例えば２状態なら上向きスピンと下向きスピンとか
• 複数の状態を持つ量子がランダムウォークするとき、どっちにどのくらいの確率で移動するかと、移動した後、状態が変わるか変わらないか、変わるなら何に変わるかのルールを入れる必要がある
• 量子ウォークはその話
• この本では、簡単な場合（１次元空間、かつ、離散空間）を中心に話を進める
• どっちに移動、と、状態変化をどうするかとの関係性から、それを表す行列表現が変わってくる
• その設定の中に、扱いやすいものがあったり、実際に物理学的に存在する対象があったり、なかったりするようだ
• ここで使う行列はユニタリー行列を使う事になるらしい。それは、状態に作用させた後、やっぱり、状態が「確率の条件〜全部で１」を満足するようになるため
• グラフ上での量子ウォークのためにグローバー行列というのがあって、辺接続情報の行列だが、この場合、ある辺がある頂点に入って行き、その後、その頂点から出て行くのだが、逆戻りにも値を入れる（場合によってはその値が０になることもあるが）事になる。しかも、その逆戻りの値は負だったりもする
• 伊原のゼータ関数でサイクルのことを考えるとき、backtracklessという条件があるが、それは、逆戻りは許さないということなので、グローバー行列とは合致しない
• このような状況なので、伊原の辺接続行列とは、グローバー行列の「正の台」と呼ばれているらしい。「正の台」とは、正の値が入っているセルは１、それ以外はゼロとしたもののこと
• グローバー行列を含む、量子ウォークを表した行列の諸々は、伊原のゼータ関数よりも情報量が多い模様
• 伊原のゼータ関数は基本的には、いわゆるグラフの隣接行列の固有値が決まると、辺接続行列の固有値もそこから決まり（辺接続行列よりも小さい隣接行列の固有値で決まってしまう）、情報量としては、変わらない
• それに対して、グローバー行列は（行列サイズが同じだが、その固有値の数は、グローバー行列のサイズに依存し、そのサイズは辺接続行列のサイズと同じだが、辺接続行列の固有値がさらに小さい隣接行列の固有値で決まるのに対して、行列サイズに見合った数の固有値の情報を持つという意味で）情報量が多い
• この情報量の多さから、グラフの異同情報が増えるらしい
• ちなみに、グローバー行列の2乗の正の台にすると、それはそれで扱いに良い点が現れることもあるという