ぱらぱら めくる『Projective geometry, toric algebra and tropical computations』のIntroduction

Projective geometry, toric algebra and tropical computations

• 代数幾何は連立多項式の零点集合を扱う、求解の話
• トーリック幾何・多様体は代数多様体の特別な部分クラスであって、離散データや凸多面体と関係が深い
• トロピカル幾何は埋め込まれた多様体の組み合わせ的な側面と関係する。そして、埋め込まれた多様体の特定条件下での極限的性質を明らかにする
• 代数統計・代数計算機計算が可能になるにつれ、シンボル演算を用いた計算機的取り組みが現実的な方法となってきている
• 「代数幾何計算機科学」への着目、と言い換えられる
• 「代数幾何計算機科学」において注目されている２つのトピックがある
  • トーリック多様体
  • トロピカル多様体
• その理由は代数多様体全般よりも、組み合わせ論的な特徴を持っていることによって計算がしやすいことにある
• トーリック多様体は解きやすいサブクラスを与える
• トロピカル化は、トーリック多様体でないために解きにくい問題をトーリック多様体にdegenerateしつつ、大事な不変量を維持してくれると言う意味で、両者は関係する
• 具体的にこのペイパーが扱っているのは・・・
  • 次元削減が大事である時に、トーリック多様体は、次元削減しやすいと言う特徴がある。組み合わせ構造とそれは関係する
  • トロピカル化による、トーリックdegenerationについて述べる
  • トロピカル化してトーリックdegenerationmするための計算機実装について述べる
  • トーリック多様体の基底を、組み合わせ構造の視点で捉えて、計算機実装が改善されるらしい