１番になるための戦略の一般型 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

昨日の記事も一番じゃなきゃ、だめなんだ、の戦略の話
今日の記事はそれを一般型にして書き下してみる
$s \in \mathbf{S}$ は選択肢とその集合
$z \in \mathbf{Z}$ は帰結とその集合
帰結空間 $\mathbf{Z}$ に関する確率密度分布の集合(限定すればそれは統計モデルになるが)を $\mathbf{G}=\{g\}$ とする
今、選択肢 $s$ における真の帰結生起確率密度分布を $f_s(z) \in \mathbf{G}$ とする
観察 $\mathbf{D}=\{d_1,d_2,...,d_n\}; n=0,1,2,...$ であって、 $d_i=(s_i,z_i)$ である
今、ある観察 $\mathbf{D}$ のもとで、ある選択肢 $s$ の帰結生起確率密度分布が、 $g\in \mathbf{G}$ である尤度(を $\mathbf{G}$ 全体の和が１となるように調整したもの)を $P(f_s(z)=g|\mathbf{D})$ とする
ここで、すべての選択肢に関して、それが選択されたときに、その選択が最善であるような確率について興味があるものとする
それを考えるために、次のような同時分布を考える
$\pi(\mathbf{g}=(g_{s_1},g_{s_2},...,g_{s_{|\mathbf{S}|}})|\mathbf{D}) = \prod_{s \in \mathbf{S}} P(f_s(z)=g_s|\mathbf{D}) \in \Pi_{\mathbf{G}^{|\mathbf{S}|}}(\mathbf{D})$
この同時分布は $\mathbf{G}^{|\mathbf{S}|}$ な空間に関する確率密度分布になっている( $\mathbf{g}=(g_{s_1},g_{s_2},...,g_{s_{|\mathbf{S}|}}) \in \mathbf{G}^{|\mathbf{S}|}$ )
この空間を次のように排他的に分割する
$\forall \gamma^{|\mathbf{S}|} = (g_{s_1},g_{s_2},...,g_{s_{|\mathbf{S}|})$ のようなベクトルに対して、次の関数は必ず $\mathbf{S}$ の部分集合(ただし空集合は除く)を対応づけるものとする。 $h(\gamma^{|\mathbf{S}|}) = \sigma_{\gamma^{|\mathbf{S}|}} \subset \mathbf{S}$
ここで、 $s$ について $V(s|\mathbf{D}) = \int_{\gamma^{|\mathbf{S}|}} \frac{1}{|\sigma_{\textit{z}^{|\mathbf{S}|}}|} d \gamma^{|\mathbf{S}|}$ を定め、これを $s$ の $\mathbf{D}$ における重みとし、さらに
$W(s|\mathbf{D})=\frac{V(s|\mathbf{D})}{\int_{s\in \mathbf{S}} V(s|\mathbf{D}) d s$ とすれば、これが $\mathbf{D}$ が観察されている下での $s$ を選ぶ確率
である、というのが、ここ数日の『１番じゃなきゃ、だめなんだ』戦略らしい(多分、合っている)