成否帰結の２択、ただし、帰結は選択肢別にありがたみに差がある、の要点

単純な決断である、「帰結は成否の２通り」ｘ「選択肢は２つ」の場合ではあるが、選択肢０での成功は選択肢１での成功よりありがたく、選択肢０での失敗は選択肢１での失敗よりありがたく、選択肢１での成功は選択肢０での失敗よりありがたい、というような場合
治療法が２つあり、治る方が治らないよりよいが、どうせ治るなら費用が安い方がよい、というような場合
$s \in \mathbf{S} = \{s_0=0,s_1=1\}$ (選択肢)
$z \in \mathbf{Z}=\{z_0=0,z_1=1,z_2=2,z_3=3\}$ (帰結)
(生起確率密度分布の集合)
- ただし、 $s=0$ のときは $p_1=p_3=0$ 、 $s=1$ のときは $p_0=p_2=0$ と限定されているので、 $\mathbf{G}=\{g_0=(p,0,1-p,0) \text{or}g_1= (0,p,0,1-p)\};p \in [0,1]$
観察であって、である
- ここで $\mathbf{D}$ の要素は $(0,0),(0,2),(1,1),(1,3)$ の４通りになるので、この場合の観察 $\mathbf{D}$ は、４つの非負整数の組 $\mathbf{x}=(x_{0,0},x_{0,2},x_{1,1},x_{1,3});x_{u,v} \ge 0$ と書き直せる
今、ある観察 $\mathbf{D}=\mathbf(x)$ のもとで、ある選択肢 $s$ の帰結生起確率密度分布が、 $g_0 \text{or} g_1 = (p,0,1-p,0) \text{or} (0,p,0,1-p) \in \mathbf{G}$ である尤度(を $\mathbf{G}$ 全体の和が１となるように調整したもの) $P(f_0(z)=g=(p,0,1-p,0)|\mathbf{D})=\beta(p,x_{0,0}+1,x_{0,2}+1)$ 、 $P(f_1(z)=g=(0,p,0,1-p)|\mathbf{D})=\beta(p,x_{1,1}+1,x_{1,3}+1)$ とするのが２項分布の共役分布ベータ分布を用いたモデル
- $p_0\times p_1 + p_0\times (1-p_1) + (1-p_0)\times(1-p_1)$ の確率で $s_0$ が選ばれ $(1-p_0)\times p_1$ の確率で $s_1$ が選ばれるから
- $p_0 > 1-\frac{1}{2p_1}$ のとき $h(\gamma)=\{0\}$
- $p_0 = 1-\frac{1}{2p_1}$ のとき $h(\gamma)=\{0,1\}$
- $p_0 < 1-\frac{1}{2p_1}$ のとき $h(\gamma)=\{1\}$