常微分・偏微分、形、有限次元・無限次元
- こちらに、トポロジー的に球面であるものに関する資料を置いた
- 雑多な感じがするが、どういうつながりなのかと考える
- 常微分方程式は、ある連続変数tが１個あって、複数の要素X1,X2,...がtの関数になっていて、Xiのtに関する変化(増減)がXi同士、Xiのt微分同士でルールづけされている様子を表す
- それに対して、偏微分方程式では、連続変数が複数(t1,t2,...)あって、複数の要素X1,X2,...(１個の要素でもよく、それだけでも大変)がt1,t2,...の関数になっていて、Xiのt1,t2,...に関する変化を偏微分で表して(tiに関する変化をtj(j!=i)で条件付けしたもの)がXi同士、Xiのtiの偏微分同士でルール付されている様子を表す
- この世のことを考えるときには、tは時間であることがほとんどで、t1,t2,t3,t4は、t1が時間、t2,t3,t4が空間３次元であることが多い
- ３次元空間＋１次元時間における、質点・質点群・剛体・剛体群の関数表現は質点…剛体群を表す関数が有限個(質点１個当たり、位置を表す座標３変数、剛体の場合はそれに加えて向きを表す３変数)あって、それらについて時間微分だけを考えるから常微分方程式
- ３次元空間＋１次元時間における、紐、布、変形する立体の関数表現は、空間に関して連続しているので偏微分方程式。これは、２次元空間にある紐を媒介変数t2で表し、x(t2),y(t2)をその紐上の点の位置とし、それの時間変化を追うときにはx(t1,t2),y(t1,t2)となって、x(t1+dt1,t2),x(t1,t2+dt2),x(t1+dt1,t2+dt2)を考えるときに偏微分することになることに対応する
- 後者では、紐の媒介変数t2が連続変数なので、質点…剛体群的な意味では、無限の質点に関する無限の相互作用を扱うこととなり、それが、「偏微分方程式」は「configuration space的に無限」という
- 統計でよくある
のような形は、Xiが質点…剛体群系列の考え方であるから、基本的に常微分方程式的な力学系・決定論的因果関係に乱雑項を考慮したものである
- 偏微分方程式的なものは、このような考え方ではうまくいかないわけで、波の方程式(波動方程式)、拡散方程式などのように、状態を表現する関数を見つけることになる。その領域に強いのは数値解法(解けないことも多いから)。それに乱雑項を入れるとランダム・フィールドとかになる
- 形の解析は、空間に関して連続であるので、偏微分方程式だし、物理系・数値解析系の手法と相性がよい
- そのあたりの背景説明をしているのがこちらで、要約すると…
- 具体例
- 拡散や流れ(物理的な流体、お金の流れ、遺伝子の空間移動、インターネット上の情報の流れ、球面で考えるのが地球物理的な流体力学、特に層流・乱流)
- よく知られたアイディア
- 関連するトピックとして広げる
- 線形・非線形の偏微分方程式として次のようなものが挙がってくる
- Black-Scholes options equations, contaminant transport, 反応拡散系, Schrodinger equation
- 比較的最近の研究成果は：
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